Consigne: Algorithme de calcul de la réduction de Jordan

Factoriser le polynôme minimal de la matrice pour trouver les valeurs propres \(\lambda\) et leur multiplicité \(m\)

Pour chaque valeur propre \(\lambda_i\) de multiplicité \(m_i\), prendre \(k_i\) le plus petit élément de \(\in[\![1,m_i]\!]\) tel que \(\operatorname{dim}\ker(A-\lambda_i\operatorname{Id})^{k_i}=m_i\)

Prendre \(v_{i,1}\) un vecteur tq \(v_{i,1}\in\ker(A-\lambda_i\operatorname{Id})^{k_i}\setminus\ker(A-\lambda_i\operatorname{Id})^{k-1}\)

Prendre \(v_{i,2},\ldots,v_{i,{m_i}}\) tel que \(\forall p\in[\![1,m_i]\!]\), \(v_{i,p}=(A-\lambda\operatorname{Id})^pv_{i,1}\)

\(P\) est donnée par les \(v\) et \(P^{-1}AP\) correspond à l'ordre des valeurs propres (pour la valeur propre \(\lambda_i\), il y a autant de blocs que de vecteur dans \(\ker(A-\lambda\operatorname{Id})\))

(Polynôme caractéristique d’une matrice - Polynôme associé à une matrice, Sous-espace propre, Vecteur propre - Valeur propre - Elément propre, Multiplicité d’une racine - Ordre d’une racine, Théorème de la base incomplète, Dimension, Suite de noyaux itérés)

Consigne: Soit $$A=\begin{pmatrix}1&1&1&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&2\\ 0&0&0&2&2\\ 0&0&0&0&2\\ \end{pmatrix}$$ décomposer \(A\) en utilisant le théorème de Jordan

Valeurs propres et multiplicité
On voit en regardant les diagonales de la matrice que ses valeurs propres sont \(1\) avec une multiplicité de \(3\) et \(2\) avec une multiplicité de \(2\)

Base des sous-espaces caractéristiques
$$B=A-\operatorname{Id}=\begin{pmatrix}0&1&1&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&2\\ 0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}$$ une base de \(\ker B\) est donc donnée par \(\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)
$$B^2=\left(\begin{array}{ccc|cc}0&1&1&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&2\\ \hline0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc|cc}0&1&1&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&2\\ \hline0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc|cc}0&0&0&0&2\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&2\\ \hline0&0&0&1&4\\ 0&0&0&0&1\end{array}\right)$$
Une base de \(\ker B^2\) est donc donnée par : \(\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)
$$C=A-2\operatorname{Id}=\begin{pmatrix}-1&1&1&0&0\\ 0&-1&0&0&0\\ 0&0&-1&0&2\\ 0&0&0&0&2\\ 0&0&0&0&0\end{pmatrix}$$ une base de \(\ker C\) est donc donnée par \(\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}\) $$C^2=\left(\begin{array}{ccc|cc}1&1&1&0&0\\ 0&-1&0&0&0\\ 0&0&-1&0&2\\ \hline0&0&0&0&2\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc|cc}1&1&1&0&0\\ 0&-1&0&0&0\\ 0&0&-1&0&2\\ \hline0&0&0&0&2\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc|cc}1&-2&-2&0&2\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&-2\\ \hline0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\end{array}\right)$$ une base de \(\ker C^2\) est donc donnée par \(\underbrace{\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\end{pmatrix}}_{\text{base de }\ker C}\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\)

Réécriture de la base de \(\ker B^2\) pour y faire apparaître la base de \(\ker B\)
On compose et on complète : \(\underbrace{\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}}_{\text{base de }\ker B},\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\) base de \(\ker B^2\)

Multiplier les vecteurs qui sont dans \(\ker X^2-\ker X\) par \(X\) (avec \(X=B\) et \(X=C\))
On calcule \(B\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\)
On calcule \(C\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\)

Les bases de Jordan pour chaque valeur propre sont donc constituées du vecteur étant dans \(\ker X^2-\ker X\), de son image par \(X\), et (si la multiplicité n'est pas trop petite) d'un vecteur de \(\ker X\) tel que le déterminant de \(P\) est non nul
Une base de Jordan pour \(\lambda=1\) est donc \(\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 1\\ -1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\) et une base de Jordan pour \(\lambda=2\) est donc \(\begin{pmatrix}2\\ 0\\ 2\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 2\\ 0\end{pmatrix}\)

Conclusion

Si \(P=\begin{pmatrix}0&1&0&2&0\\ 0&0&1&0&0\\ 1&0&-1&2&0\\ 0&0&0&0&2\\ 0&0&0&1&0\end{pmatrix}\), alors \(P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 1&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&2&0\\ 0&0&0&1&2\end{pmatrix}\)

(Sous-espace caractéristique)

Consigne: Trouver la matrice \(P\) telle que \(P^{-1}AP\) est sous forme de Jordan, avec $$A=\begin{pmatrix}3&4&4&0&0\\ -1&-1&1&0&0\\ 0&0&-1&0&0\\ -1&0&1&7&-12\\ 2&1&0&4&-7\end{pmatrix}$$

Calcul du polynôme caractéristique (le déterminant est triangulaire par blocs et on peut procéder par développement par ligne/colonne) \(\to\) en déduire les valeurs propres
$$\begin{align} P_A(X)&=\left|\begin{array}{ccc|cc}3-X&4&4&0&0\\ -1&-1-X&1&0&0\\ 0&0&-1-X&0&0\\ \hline-1&0&1&7-X&-12\\ 2&1&0&4&-7-X\end{array}\right|\\ &=[(3-X)(-1-X)+4](-1-X)[(7-X)(-7-X)+48]\\ &=(X^2-2X+1)(-1-X)(X^2-1)\\ &=(X-1)^3(-1-X)(X+1)\end{align}$$les valeurs propres sont donc \(\lambda=1\) de multiplicité \(3\) et \(\lambda=-1\) de multiplicité \(2\)

Calcul des sous-espaces propres grâce à l'algorithme du compagnon
\(\lambda=1\) : on prend \(B=A-\operatorname{Id}\)
$$\begin{align} B\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}2&4&4&0&0\\ -1&-2&1&0&0\\ 0&0&-2&0&0\\ -1&0&1&6&-12\\ 2&1&0&4&-8\end{pmatrix}&&\begin{array}{}c_5\to c_5+2c_4\\ c_2\to c_2-2c_1\\ c_3\to c_3+c_1\end{array}\\ B\begin{pmatrix}1&-2&1&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}&=\underset{\begin{array}{}\cancel {\lambda_1}&\cancel {\lambda_2}&\cancel {\lambda_3}&\cancel {\lambda_4}\end{array}}{\begin{pmatrix}2&0&\enclose{circle}6&0&0\\ \enclose{circle}{-1}&0&0&0&0\\ 0&0&-2&0&0\\ -1&\enclose{circle}2&0&6&0\\ 2&-3&2&\enclose{circle}4&0\end{pmatrix}}\end{align}$$donc \(\ker B=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}\). les vecteurs de cette matrice sont indépendants, on peut le voir grâce à un système du type \(\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3+\lambda_4v_4=0\) et grâce aux nombres entourés
\(A\) n'est donc pas diagonalisable

$$\begin{align} B^2\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}0&0&4&0&0\\ 0&0&-8&0&0\\ 0&0&4&0&0\\ -32&-16&0&-12&24\\ -17&-2&13&-8&16\end{pmatrix}&&\begin{array}{}c_5\to c_5+2c_4\\ c_1\to c_1-2c_2\\ c_4\to c_4-\frac34c_2\end{array}\\ B^2\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ -2&1&0&-3/4&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&2\\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}0&0&\enclose{circle}4&0&0\\ 0&0&-8&0&0\\ 0&0&4&0&0\\ 0&\enclose{circle}{-16}&0&0&0\\ -13&-2&13&\enclose{circle}{-13/2}&0\end{pmatrix}\end{align}$$ donc \(\ker B^2=\operatorname{Vect}\left\{\underbrace{\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}}_{\in\ker B},\begin{pmatrix}1\\ -1/2\\ 0\\ -2\\ 0\end{pmatrix}\right\}\)

$$\begin{align} B^3&=\begin{pmatrix}0&0&-8&0&0\\ 0&0&16&0&0\\ 0&0&-8&0&0\\ 12\times17&24-6\times16&-12\times13&24&6\times24-12\times16\\ 8\times17-4\times32&16-4\times16&-8\times13&16&4\times24-8\times16\end{pmatrix}&&\begin{array}{}c_5\to c_5+2c_4\\ c_1\to c_1-?c_2\end{array}\end{align}$$
Donc \(\ker B^3=\operatorname{Vect}\left\{\underbrace{\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 2\\ 1\end{pmatrix}}_{\in \ker B,\in\ker B^2},\underbrace{\begin{pmatrix}1\\ -1/2\\ 0\\ -2\\ 0\end{pmatrix}}_{\in\ker B^2},\begin{pmatrix}1\\ ?\\ 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right\}\)

\(\lambda=-1\) : on prend \(C=A+\operatorname{Id}\)
$$\begin{align} C\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}4&4&4&0&0\\ -1&0&1&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ -1&0&1&8&-12\\ 2&1&0&4&-6\end{pmatrix}&&\begin{array}{}c_5\to c_5+\frac32c_4\\ c_1\to c_1+c_3\end{array}\end{align}$$ donc \(\ker C=\operatorname{Vect}\left\{\begin{pmatrix}0\\ 0\\ 0\\ 3/2\\ 1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1\\ -2\\ 1\\ 0\\ 0\end{pmatrix}\right\}=(f_1,f_2)\)

On s'arrête parce que le nombre de vecteurs correspond à la multiplicité des valeurs propres
\((e_1,e_2,e_3)\longrightarrow(e_3,Be_3,B^2e_3)\) $$\begin{array}{l}\ker B\;\,=e_1&\cancelto{B(Be_3)}{e_1}\\ \ker B^2=e_1,e_21&\cancelto{Be_3}{e_2}\\ \ker B^3=e_1,e_2,e_3&e_3\end{array}$$
On a \(P=(e_3,Be_3,B^2e_3,f_1,f_2)\)

Donc $$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc|c|c}1&0&0&0&0\\ 1&1&0&0&0\\ 0&1&1&0&0\\ \hline0&0&0&-1&0\\ \hline0&0&0&0&-1\end{array}\right)$$ (\(\ker(A-\operatorname{Id})=\operatorname{Vect}(e_1)\) \(\to\) \(1\) bloc de taille \(3\times3\) et \(\ker(A+\operatorname{Id})=\operatorname{Vect}(f_1,f_2)\) \(\to\) \(2\) blocs de taille \(1\times1\))

(Polynôme caractéristique d’une matrice - Polynôme associé à une matrice, Sous-espace propre, Matrice augmentée - Algorithme du compagnon)